Desde que Georg Cantor creo la teoría de conjuntos y demostró que existen cardinales infinitos más grandes que otros, prueba que logró gracias al teorema conocido como teorema de Cantor, se tiene que los conjuntos N, Z y Q poseen la misma cardinalidad. Esto obligó a los matemáticos a inventar una definición de cardinal de un conjunto de la siguiente manera: "el cardinal de un conjunto finito es el número de elementos que posee". La pregunta es ¿qué es el cardinal de un conjunto infinito? La respuesta está en este pequeño pero significativo trabajo. Y la demostración de la falsedad de la hipótesis del continuo que Cantor nos legó se deduce gracias a su propio teorema.
Ahora bien, si Cantor estaba equivocado, ¿cómo es que nadie reparó en su error? La respuesta es sencilla, a nadie se le ocurre objetar lo que un brillante matemático nos presenta; mucho menos si la prueba que nos exhibe parece inobjetable. Sin embargo, en esa misma prueba puede ser que esté escondida (implícitamente) la forma de refutarle. Esto es lo que se hará en este trabajo; demostrar que el cardinal de N es menor que el de Z y el de Z es menor que el de R y, en general, que el cardinal de un conjunto A es menor que el de un conjunto B, siempre que A sea un subconjunto propio de B.
Una vez que podemos afirmar que el cardinal del conjunto N es mayor que el del conjunto N*, entonces podemos definir que "el cardinal de un conjunto "finito o infinito" es el número de elementos que posee". Sin embargo, cabría preguntarse ¿qué pasa con la función
Ahora bien, amigo lector, si en este momento usted se está diciendo que todo esto debe ser una locura, porque los matemáticos del pasado no se pueden haber equivocado, sepa y entienda que ellos no eran dioses sino personas como usted y yo. Por lo tanto, llenémonos de humildad y modestia y tratemos de seguir adelante aceptando la realidad aunque sea triste.
Por otra parte, ¿qué podemos decir sobre las demostraciones logicistas de Godel y Cohen sobre la hipótesis del continuo? La respuesta es: ese nefasto término llamado infinito, el cual ha sido la causa de todas las contradicciones que han aparecido en el desarrollo de las matemáticas. No obstante, acá no se entrará en detalles sobre tal cuestión.
El Teorema de Cantor para Dos Conjunto de Partes
En este caso se tiene
2.1 Teorema 1 (de las biyecciones entre conjuntos de partes)
Demostración
Sean (acá se tomarán sólo 2 elementos, pero la prueba vale para 1, 2, etc., elementos)
Como (4) se cumple para cualesquiera que sean los subconjuntos de P(B) y P(A), entonces
Hagamos un razonamiento detallado del por qué el conjunto C anterior. Sabemos que P(B) contiene a todos los conjuntos binarios de P(A), más un número infinito de conjuntos binarios que no están en P(A).
Por lo tanto, si los binarios de P(B) son generados por los binarios de P(A), entonces muchos binarios de P(A) cumplirán con la forma del conjunto H anterior.
Desarrollemos, entonces, dicho teorema.
2.2 Teorema 2 (de la no sobreyectividad entre conjuntos de partes)
Sean A y B dos conjuntos infinitos tales que A es subconjunto propio de B. Entonces,
Demostración
Supongamos, por un momento, que f es sobreyectiva. Es decir
Como (4) y (5) son contradicciones que se generan al suponer que f es sobreyectiva, se concluye que esto es falso y, por tanto
Del teorema anterior se tiene que si A es un subconjunto propio de B, entonces nunca existe una sobreyección de P(A) hacia P(B) y, por tanto, tampoco existirá una biyección. En consecuencia, el cardinal de P(A) es estrictamente menor que el de P(B). Es decir
si n es impar.-n2, si n es par.La función anterior, como se probó anteriormente, no es sobreyectiva. Analicemos la no sobreyectividad en la tabla siguiente tomando subconjuntos.
En la tabla anterior se tiene a las preimágenes en la parte superior y a sus imágenes en la parte inferior. Veamos lo que sucede si truncamos el procesoen un determinado n de I. Si truncamos el proceso en el 5 de I, notamos que el 5 también está en Z*+, por lo que el 4 y el 5 no tienen contraimagen. Si el proceso lo truncamos en 9, por ejemplo, entonces quedan sin contraimagen los números 6, 7, 8 y 9. En general, si el proceso es truncado en un número n cualquiera, entonces quedan sin contraimagen una cantidad de elementos que está dada por: n - n+12 = n-12 (diferencia creciente en n).
Otra forma de disponer la tabla anterior es la siguiente
Otra vez apliquemos la máxima: divide y vencerás. Si truncamos el proceso en 3, obtenemos los siguientes conjuntos:
Otra forma, no de comprobar sino, de probar que la biyección en cuestión no es tal, es la siguiente:
En conclusión, la función en cuestión no es sobreyectiva.
Conclusiones
Se ha escrito, y se sigue escribiendo, grandes cantidades de artículos sobre la hipótesis del continuo, así como de los maravillosos teoremas de Godel y Cohen. Pues bien, es hora de que los verdaderos matemáticos comiencen a escribir sobre lo equivocado que estaban con respecto a la teoría de conjuntos y, de una vez por todas, reconozcan que los matemáticos del pasado también eran seres humanos y, por ende, falibles.
Ahora bien, ¿qué fue lo que hizo que se aceptara lo que Cantor nos legó, con respecto a la cardinalidad de N y Z, mediante la función vista en la sección 3 de este trabajo? sencillamente, el dejarle todo a ese aciago término llamado infinito.
